Une application \(N\) du \(\mathbb{K}\)-ev \(E\) dans \(\mathbb{R}\) vérifiant les 4 propriétés suivantes est appelée norme sur \(E\) :
Par définition, une norme est à valeur dans \(\mathbb{R}\)
Attention, la norme d'une fonction s'écrit: \(\lVert f \rVert\) et non \(\lVert f(x) \rVert\).
Une norme sur \(E\) vérifie:
\[\forall (x,y) \in E \times E, \quad |N(x)-N(y)| \leq N(x-y)\]
Soit \((E,N)\) un ev normé et \(F\) un sev de \(E\). La restriction de \(N\) à \(F\) est une norme sur \(F\), appelée norme induite sur \(F\).
Les normes sur \(\mathbb{K}\) sont les multiples, par un scalaire \(\gt 0\), de la fonction valeur absolue (ou module).
Soit \((E_i, N_i)_{i \in \left[1;p\right]}\), une famille de p evn sur \(\mathbb{K}\) et \(E\) l'ev produit.
Alors:
\[\begin{flalign*} E & \mapsto \mathbb{R} \\ x=(x_1, ..., x_p) & \mapsto N(x)=\max_{i \in \left[1;p\right]} N_i(x_i) \end{flalign*}\]
est une norme sur \(E\) appelée norme produit.
La norme produit n'est pas la seule norme sur un espace produit! On a aussi:
\[\lVert x \rVert_{1} = \sum\limits_{j=1}^{p} N_j(x_j)\]
\[ \lVert x \rVert_{2} = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^{p} (N_j(x_j))^2}\]
Mais la norme produit a une définition précise, ce n'est pas juste une norme sur un espace produit...
Seul \((\mathbb{R}^2, \lVert \cdot \rVert_\infty )\) est ev produit. c'est l'ev produit de \((\mathbb{R}, \lvert \cdot \rvert)\) par lui-même. \((\mathbb{R}^2, \lVert \cdot \rVert_1 )\) et \((\mathbb{R}^2, \lVert \cdot \rVert_2 )\) ne sont pas des ev produits...
\(E\) est un \(\mathbb{C}\)-ev. Un produit scalaire complexe sur \(E\) est une appli \(\varphi\) \(E \times E \mapsto \mathbb{C}\) sesquilinéaire, hermitienne, définie positive:
Un ev réel ou complexe muni d'un ps est appelé espace préhilbértien.
On a donc:
\(\forall (x_1,x_2,y) \in E^3 \quad \forall (\lambda; \mu) \in \mathbb{C}^2 \) :
\(\quad \varphi(\lambda x_1 + \mu x_2, y) = \overline{\lambda} \varphi(x_1,y) + \overline{\mu} \varphi(x_2,y)\)
\(\varphi\) est dite semi-linéaire par rapport à la première variable
On remarque aussi que par définition \(\varphi(x,x)\) est un réel, pas un complexe.
sesquilinéaire signifie semi-linéaire par rapport à la 1ère variable et linéaire par rapport à la 2nd.
lorsque \(E = \mathbb{C}^{n}\), l'application :
\[\varphi((x_{1},...,x_{n}),(y_{1},...,y_{n})) = \sum\limits_{i=1}^{n} \overline{xi} yi\]
est le produit scalaire canonique sur \(\mathbb{C}^{n}\)
Si \(\mathcal{C}_{2\pi}\) désigne l'ev des fonctions continues et 2π-périodiques de \(\mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}\), alors l'application:
\[\begin{flalign*} \mathcal{C}_{2\pi} \times \mathcal{C}_{2\pi} & \mapsto \mathbb{C} \\ (f,g) & \mapsto (f \mid g) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \overline{f}(t)g(t)\, dt \end{flalign*}\]
est un produit scalaire.
Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-ev muni d'un produit scalaire \(\varphi\). Alors:
\[ \forall (x,y) \in E^2 \quad {\lvert \varphi(x,y) \rvert}^2 \leq \varphi(x, x)\varphi(y,y)\]
L'égalité a lieu si et seulement si \((x,y)\) est liée:
\[x = 0_E \textrm{ ou } (\exists \lambda \in \mathbb{C} : y = \lambda x)\]
Dans \(\mathbb{C}\), ne pas oublier le module.
On n'écrit pas \(\lvert \varphi(x,x) \rvert\) car par définition \(\varphi(x,x)\) est un réel (positif) et pas un complexe.
On peut aussi écrire: \( \lvert \varphi(x,y) \rvert \leq \lVert x \rVert_{2} \lVert y \rVert_{2} \)
L'inégalité de C-S permet de trouver des inégalités. Par ex: sur \(\mathcal{C}(\left[0;1\right], \mathbb{C})\), on a le ps:
\[\varphi(f,g)=\int_{0}^{1} \overline{f}(t)g(t)\, dt\]
donc, on obtient facilement:
\[ \lvert \int_{0}^{1} \overline{f}(t)g(t)\, dt \rvert^2 \leq \int_{0}^{1} \lvert f \rvert^2(t)\, dt \int_{0}^{1} \lvert g \rvert^2(t)\, dt\]
et:
\[\lvert \int_{0}^{1} g(t)\, dt \rvert^2 \leq \int_{0}^{1} \lvert g \rvert^2(t)\, dt\]
Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-ev muni d'un produit scalaire \(\varphi\). Alors la fonction \( \lVert \cdot \rVert_{2}\) de \(E \mapsto \mathbb{R}^+ \) définie par:
\[||x||_2 = \sqrt{\varphi(x,x)}\]
est une norme sur \(E\), dite norme associée au produit scalaire \(\varphi\).
Attention, toutes les normes ne sont pas associées à un ps (à confirmer)
Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-ev muni d'un produit scalaire \(\varphi\).
Alors la norme associée vérifie l'inégalité:
\[ \lVert x+y \rVert_{2} \leq \lVert x \rVert_{2} + \lVert y \rVert_{2} \]
L'égalité a lieu si et seulement si la famille \((x,y)\) est positivement liée:
\[x = 0_E \textrm{ ou } (\exists \lambda \in \mathbb{R}^+ : y = \lambda x) \]
\(\lambda\) est dans \(\mathbb{R}^+\)
sur \(\mathbb{C}^{n}\), la norme associée au p-s canonique est:
\[ ||(z_{1}, ..., z_{n})||_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} |zi|^2}\]
\[\begin{flalign*} \mathcal{C}_{2\pi} & \mapsto \mathbb{R} \\ f & \mapsto ||f||_2 = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(t)|^2\, dt} \end{flalign*}\]
est une norme sur le \(\mathbb{C}\)-ev \(\mathcal{C}_{2\pi}\) des fonctions continues et 2π-périodiques de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).
Soit \((E,(\cdot|\cdot))\) un ev préhilbertien réel ou complexe.
\(\forall x \in E\) :
\[ \begin{aligned} \lVert x \rVert & = \sup \left\{\lvert (x \mid y) \rvert\mid \lVert y \rVert \leq 1\right\} \\[10pt] & = \sup \left\{\lvert (x \mid y) \rvert\mid \lVert y \rVert = 1\right\} \\[10pt] & = \left\{\frac{\lvert (x \mid y) \rvert}{\lVert y \rVert}\mid y \ne 0_E\right\} \\[10pt] \end{aligned} \]
\(E = \mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})\) pour \((a \lt b)\) est munis des normes:
\[N_1 : f \mapsto \int_{a}^{b} |f(t)|\, dt\]
et:
\[ N_2 : f \mapsto \sqrt{ \int_{a}^{b} |f^2(t)|\, dt} \]
et:
\[ \lVert \cdot \rVert_{\infty} : f \mapsto \lVert f \rVert_{\infty} = \sup \left\{\lvert f(t) \rvert\mid t \in \left[a,b\right]\right\} \]
La norme \(N_2\) découle du produit scalaire:
\[ (f \mid g) = \int_{a}^{b} \bar{f}(t)g(t)\, dt \]
Exemple de normes sur l'ev \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})\) des matrices réelles ou complexes:
\[ \begin{aligned} norm(A) & = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2} = \sqrt{Tr(^t\overline{A}A)} \\[10pt] colnorm(A) & = \max_{j \in ⟦1;n⟧} \left( \sum\limits_{i=1}^{m} |a_{ij}|\right) \\[10pt] rownorm(A) & = \max_{i \in ⟦1;m⟧} \left( \sum\limits_{j=1}^{n} |a_{ij}|\right) \\[10pt] \end{aligned} \]
\(norm(A)\) est la norme associée au ps \( (A, B) \mapsto Tr(^t\overline{A}B)\) définie sur \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})\).
Et en identifiant \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) à et \(\mathbb{K}^{n^2}\), la fonction \(norm\) correspond aussi à la norme \(N_2\) de \(\mathbb{K}^{n^2}\)
Exemple de norme sur \(\mathbb{K}[X]\) :
Soit \(P\) un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) : \(P = \sum\limits_{i=0}^{n} a_iX^i\) .
\[ \begin{aligned} N_1(P) & = \sum\limits_{i=0}^{n} |a_i| \\[10pt] N_2(P) & = \sqrt{\sum\limits_{i=0}^{n} |a_i|^2} \\[10pt] N_\infty(P) & = \max_{i \in ⟦0;n⟧}|a_i| \\[10pt] \end{aligned} \]
sont 3 normes sur \(\mathbb{K}[X]\) et \(N_2\) découle d'un ps.
\(G\) étant un ensemble non vide, une distance sur \(G\) est une application \(d\) de \(G^2 \mapsto \mathbb{R}\) telle que:
Le couple \((G, d)\) est un espace métrique.
On notera qu'une distance n'a pas besoin d'être définie sur un ev.
Soit \((E,\lVert \cdot \rVert)\) un \(\mathbb{K}\)-ev normé. L'application \(d\) de \(E^2 \mapsto \mathbb{R}^+\) définie par \(d(x,y) = \lVert x-y \rVert \) est une distance sur \(E\).
Elle est appelée distance associée à la norme \(\lVert \cdot \rVert\) sur \(E\).
L'intérêt de la notion de distance provient du fait qu'aucune structure algébrique n'est nécessaire pour parler d'une distance sur un ensemble, alors que pour parler d'une norme il faut un espace vectoriel.
Tout evn est donc un espace métrique, mais la réciproque est fausse.
Par ex, si f et g sont deux appli linéaires de \(E \mapsto E'\), deux ev de dim finie, \((f,g) \mapsto rg(f-g)\) est une distance sur \(\mathcal{L}(E,E')\). Si cette distance était associée à une norme, on aurait \(N(f) = d(0,f) = rg(f)\), et donc \(rg(\lambda f) = \lvert \lambda \rvert rg(f)\) Ce qui est faux
Si une distance \(d\) est associée à une norme \(N\), alors \(N(x)=d(0,x)\).
On peut ainsi vérifier si c'est le cas, en regardant si \(x \mapsto d(0,x)\) vérifie la définition d'une norme.
Si \(A\) est une partie non vide de l'espace métrique \((G, d)\), la restriction de \(d\) à \(A \times A\) est une distance sur A appelée distance induite sur \(A\).
\((G, d)\) est un espace métrique.
Soit \(a\) un point de \(G\) et \(r \in \mathbb{R}^+\), la boule ouverte de centre \(a\) et de rayon \(r\) est l'ensemble noté \(B(a,r)\) ou \(BO(a,r)\) et défini par :
\[BO(a,r) = \left\{ y \in G ; d(a,r) \lt r \right\}\]
Et la boule fermée par:
\[BF(a,r) = \left\{ y \in G ; d(a,r) \leq r \right\}\]
La notion de boule est associée à un espace métrique, pas à un ev.
Une boule ouverte de rayon = 0 est l'ensemble vide. Ce n'est pas l'ensemble
vide pour la boule fermée de rayon = 0
Soit \(E = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p\) l'ev produit des ev normés \((E_i,N_i)_{i \in ⟦1;p⟧}\) muni de la norme produit \(N\).
Alors les boules de \((E, N)\) sont les produits des boules des evn \((E_i,N_i)_{i \in ⟦1;p⟧}\) de même rayon (boules ouvertes ou fermées) :
\[B(a,r) = B_1(a_1,r) \times \cdots \times B_(a_p, r)\]
\(A\) étant une partie de l'espace métrique \((G,d)\), il y a équivalence entre :
Une partie \(A\) de l'espace métrique \((G,d)\) est dite bornée si elle vérifie l'une de ces propriétés.
Toute partie d'une partie bornée est bornée.
Toute union finie de parties bornées est bornée.
Toute partie finie est bornée.
Dans un evn produit muni de la norme produit, tout produit de parties bornées des \(E_i\) est bornée, mais la réciproque est fausse (dans \(\mathbb{R}^2\), un disque, qui est borné, ne peut être décrit comme produit de deux parties bornées de \(\mathbb{R}\))
Une partie \(A\) de l'evn \((E, \lVert \cdot \rVert )\) est bornée si et seulement si:
\[\exists K \in \mathbb{R}^+ \quad \forall x \in E \quad \lVert x \rVert \leq K\]
\(X\) étant un ensemble non vide, \((G,d)\) un espace métrique et \(f\) une application de \( X \mapsto (G,d)\), \(f\) est dite bornée si l'ensemble \( \left\{f(x)\mid x \in X\right\}\) est une partie bornée de \((G,d)\) .
On note alors \(\mathcal{B}(X, G)\) l'ensemble des applications bornées de \(X \mapsto G\) .
En particulier, lorsque l'espace métrique est un evn \((F, \lVert \cdot \rVert)\), l'application \(f\) de \(X \mapsto F\) est bornée si et seulement si :
\[\exists K \in \mathbb{R}^+ \quad \forall x \in E \quad \quad \lVert f(x) \rVert \leq K\]
\(X\) étant un ensemble non vide et \((F,\lVert \cdot \rVert)\) un \(\mathbb{K}\)-evn, alors:
1) \(\mathcal{B}(X,F)\) est un sev de \(\mathcal{F}(X,F)\)
2)
\[\begin{flalign*} \mathcal{B}(X,F) & \mapsto \mathbb{R} \\ f & \mapsto \lVert f \rVert_{\infty} = \sup_{x \in X}\lVert f(x) \rVert \end{flalign*}\]
est une norme sur \(\mathcal{B}(X,F)\)
\((E_1, d_1)\) et \((E_2, d_2)\) étant deux espaces métriques, f de \(E_1 \mapsto E_2\) est dite lipschitzienne sur une partie \(X\) de \(E_1\) si :
\[\exists k \in \mathbb{R} \quad \forall (x,y) \in X^2 \quad \quad d_2(f(x), f(y)) \leq kd_1(x,y)\]
\(k\) n'est pas unique. Si \(k\) convient, tout réel supérieur convient aussi.
si \(k=0\), c'est une application constante.
Revenir à la définition si nécessaire, en particulier bien comprendre comment sont définies les distances!
Une isométrie est une application \(f\) de \((E_1,d_1) \mapsto (E_2, d_2)\) telle que:
\[\forall (x,y) \in E_1^2 \quad d_2(f(x), f(y)) = d_1(x, y)\]
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(g\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de \( I \mapsto \mathbb{R}\), de dérivée bornée.
\[ \exists M \quad \forall x \in I \quad \lvert g'(x) \rvert \leq M\]
L'inégalité des accroissements finis nous donne:
\[\forall (x,y) \in I^2 \quad \lvert g(x) - g(y) \rvert \leq M \lvert x - y \rvert\]
Réciproquement, si:
\[\forall (x,y) \in I^2 , x \ne y \implies \frac{\lvert g(x)-g(y) \rvert}{\lvert x-y \rvert} \leq M \]
Comme g est dérivable, en passant à la limite \( y \to x\), on obtient:
\[\forall x \in \mathbb{R} \quad \lvert g'(x) \rvert \leq M\]
Soit \(f \in \mathcal{C}^1(I,\mathbb{R})\), \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) :
\[f \textrm{ lips.} \iff f' \textrm{ bornée}\]
En particulier, si I est un segment de \(\mathbb{R}\), toute application de \(\mathcal{C}^1(I,\mathbb{R})\) est lipschitzienne sur I.
Et si \(f'\) n'est pas bornée, alors \(f\) n'est pas lips.
Soit un evn \((E,\lVert \cdot \rVert_E)\), on a vu que:
\[\forall (x,y) \in E \quad \lvert \lVert x \rVert_{E} - \lVert y \rVert_{E} \rvert \leq \lVert x-y \rVert_{E}\]
donc \(\lVert \cdot \rVert_E\) est lips de \( (E,\lVert \cdot \rVert_E) \mapsto \mathbb{R}\)
Soit \((E, d)\) un espace métrique et \(A\) une partie non vide de \(E\).
\[\begin{flalign*} E & \mapsto \mathbb{R} \\ x & \mapsto f(x) = d(x,A) \end{flalign*}\]
est 1-lipschitzienne.
En effet : \( \forall (x,y,z) \in E^3 \quad d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)\)
Mais: \(d(x,A) = \inf_{z \in A} d(x,z)\)
Donc: \(\forall z \in A \quad d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,z))\)
Puisque \( d(x,A) - d(x,y)\) est un minorant de \( \left\{d(y,z)\mid z \in A\right\}\), on a:
\[d(x,A) - d(x,y) \leq d(y,A)\]
Et en permuttant: \(d(y,A) - d(x,A) \leq d(x,y)\)
Finalement:
\[\forall (x,y) \in E^2 \quad \lvert d(x,A)-d(y,A) \rvert \leq d(x,y)\]
Soit \((E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p, N)\) un evn produit.
Alors, \(\forall j \in ⟦1;p⟧\), on a:
\[\begin{flalign*} E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p & \mapsto E_j \\ (x_1, x_2, \cdots, x_p) & \mapsto x_j \end{flalign*}\]
est 1-lips
\((E_1,d_1)\), \((E_2,d_2)\), \((E_3,d_3)\) étant 3 espaces métriques, si \(f\) une appli lips de \(E_1 \mapsto E_2\) et \(g\) une appli lips de \(E_2 \mapsto E_3\), alors \( g \circ f\) est une appli lips de \(E_1 \mapsto E_3\)
soit \((u_n)\) une suite de \(E\). \((u_n)\) est bornée si \(\left\{u_n\mid n \in \mathbb{N}\right\}\) est une partie bornée de \(E\).
On note \(l^\infty(E)\) l'ensemble des suites bornées sur \(E\).
\(l^\infty(E)\) est un sev de \(E^{\mathbb{N}}\), normé par:
\[\begin{flalign*} l^\infty(E) & \mapsto \mathbb{R} \\ N_{\infty}(u) & \mapsto \sup_{n \in \mathbb{N}} \lVert u_n \rVert \end{flalign*}\]
Une suite \((u_n)\) de l'evn \((E,\lVert \cdot \rVert)\) est dite convergente si dans \((E,\lVert \cdot \rVert)\) (ou converge pour la norme \(\lVert \cdot \rVert\)) si:
\[\exists l \in E \quad \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N}\] \[(n \geq N \implies \lVert u_n - l \rVert \leq \varepsilon)\]
Elle diverge donc si:
\[\forall l \in E \quad \exists \varepsilon \gt 0 \quad \forall N \in \mathbb{N} \quad \exists p \in \mathbb{N}\] \[(p \geq N \textrm{ et } \lVert u_n - l \rVert \gt \varepsilon)\]
Soit \((u_n)\) convergente de l'evn \((E, \lVert \cdot \rVert)\). Alors l'élément \(l\) de \(E\) tel que \(\lim\limits_{n \to \infty} \lVert u_n - l \rVert = 0\) est unique.
Il est appelé limite de la suite \((u_n)\), et noté \(\lim\limits_{n \to \infty} u_n\).
\((u_n)\) de l'evn \((E, \lVert \cdot \rVert)\) converge donc vers \(l\) si et seulement si:
\[\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad (n \geq N \implies u_n \in BF(l, \varepsilon) )\]
La notion de convergence est indissociable de la notion de norme, donc on travaille toujours sur un evn pour étudier une suite.
\[(u_n) \xrightarrow[]{} \ell \iff (\lVert u_n - \ell \rVert) \xrightarrow[]{} 0\]
\(E = \mathcal{C}(\left[0;1\right] , \mathbb{R})\). Soit la suite \((f_n)\) définie par \(f_n(t)=t^n\). Alors
\[\lVert f_n \rVert_{1} = \int_{0}^{1} \lvert f_n(t) \rvert\, dt = \frac{1}{n+1}\]
La suite \((f_n)\) converge vers 0 relativement à \(\lVert \cdot \rVert_1\). Mais elle ne converge pas vers 0 relativement à \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) car \(\lVert f_n \rVert_{\infty} = 1\).
La notion de convergence dépend de la norme considérée.
Toute suite convergente d'un evn est bornée.
Si \((E, \lVert \cdot \rVert)\) est un evn, l'ensemble des suites convergentes de \(E\) est un sev de \(l^\infty(E)\) (ensemble des suites bornées de \(E\)) et l'appli qui a une suite convergente associe sa limite est linéaire.
\(E = \mathcal{C}(\left[0;1\right], \mathbb{R})\) muni de la norme \(\lVert f \rVert_{1} = \int_{0}^{1} \lvert f(t) \rvert\, dt\).
Soit la suite:
\[ f_n(x) = \begin{cases} -n^3x + n^2 & \textrm{ si } x \in \left[0; \frac{1}{n}\right] \\ 0 & \textrm{ si } x \in \left[\frac{1}{n}; 1\right] \\ \end{cases} \]
\(\forall n \in \mathbb{N}^*\) : \[\lVert f_n \rVert_{1} = \int_{0}^{1} \lvert f_n(t) \rvert\, dt = \int_{0}^{\frac{1}{n}} -n^3t + n^2\, dt = \frac{n}{2} \]
La suite \((f_n)\) n'est pas bornée dans \((E, \lVert \cdot \rVert_1)\), donc elle diverge.
Soit \((E, \lVert \cdot \rVert)\) un evn et \(F\) un sev de \(E\).
\(f\) muni de la norme induite par \(\lVert \cdot \rVert\) est un sev normé, \((F, \lVert \cdot \rVert)\)
Si \((u_n) \in F^{\mathbb{N}}\), cette suite est dite convergente dans \(F\) si elle converge dans \((F, \lVert \cdot \rVert)\), c'est-à-dire si elle converge dans \((E, \lVert \cdot \rVert)\) et si sa limite \(\in F\). Sinon, elle est dite divergente dans \(F\).
Si \(F \subset E\), une suite peut être convergente dans \(E\) et divergente dans \(F\), et ce même si les \(u_n\) sont dans \(F\) (il suffit que la suite tende vers une limite hors de \(F\)).
Il faut donc se méfier de l'intuition qu'une suite DV tende vers l'infini, ou 'oscille'. Elle peut tout simplement 'converger' vers une limite qui n'est pas dans l'ensemble considéré.
Par ex, \((\frac{1}{n})\) converge dans \(\mathbb{R}\) mais pas dans \(\left]0; 5\right[\), alors qu'à première vue, on pourrait dire qu'elle converge de façon évidente...
\(E = \mathbb{K}[X]\), \(F = \left\{P \in \mathbb{K}[X]\mid P(1)=0\right\}\).
On pose pour tout \(n \gt 0\) :
\[P_n = 1 -\frac{1}{n} (X + X^2 + \cdots + X^n) \quad;\quad Q_n = \frac{1-X^n}{n} \]
Alors pour tout \( n \gt 0\), on a:
\[P_n \in F; \quad Q_n \in F; \quad \lVert 1 - P_n \rVert_{\infty} = \lVert Q_n \rVert_{\infty} = \frac{1}{n} \]
On en déduit que \((Q_n)\) converge vers le polynôme nul dans \((E, \lVert \cdot \rVert_{\infty})\). Ce polynôme appartient à \(F\). \((Q_n)\) converge donc dans \((F, \lVert \cdot \rVert_{\infty}) \).
\((P_n)\) converge vers le polynôme 1 dans \((E, \lVert \cdot \rVert_{\infty})\). Ce polynôme n'appartient pas à \(F\). \((P_n)\) diverge dans \((F, \lVert \cdot \rVert_{\infty}) \).
\((E_i, N_i)_{i \in ⟦1;p⟧}\), p evn, \((E, N)\) l'evn produit.
la suite \(u = (u^1, ..., u^p)\) converge vers \(\ell = (\ell_1,...,\ell_p)\) dans \((E,N)\) \(\iff à\) \(\forall i \in ⟦1;p⟧\), la suite \(u^i\) converge vers \(\ell_i\) dans \((E_i, N_i)\).
Soit \(E = \mathcal{C}(\left[0;1\right], \mathbb{R})\) et la suite \(f_n\) définie par \(f_n(t) = \sqrt{n}t^n\).
\(\lVert f_n \rVert_{1} = \frac{\sqrt{n}}{n+1}\) et \(\lVert f_n \rVert_{2} = \sqrt{\frac{n}{2n+1}}\)
Ainsi la suite \((f_n)\) converge vers 0 pour \(\lVert \cdot \rVert_1\), mais pas pour \(\lVert \cdot \rVert_2\).
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev et \(N_1\) et \(N_2\) 2 normes sur \(E\).
Il y a equivalence entre:
La démo de 2 vers 1 est moins évidente.
Deux normes \(N_1\) et \(N_2\) sur le même ev \(E\) sont dites équivalentes si:
\[\exists (a,b) \in (\mathbb{R}^{+*})^2 \quad\forall x \in E : \] \[aN_1(x) \leq N_2(x) \leq bN_1(x)\]
Si \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-ev, la relation "\(N_1\) est équivalente à \(N_2\)" est une relation d'équivalence.
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
Ainsi, 2 normes ne sont pas équivalentes ssi il existe une boule relativement à une des normes ne contenant aucune boule de même centre relativement à l'autre.
Soit \(E=\mathbb{K}^{n}\) et pour \(x=(x_1,...,x_n)\), considérons les normes:
\(N_1(x)=\sum\limits_{i=1}^{n} \lvert x_1 \rvert\) ; \(N_2(x)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \lvert x_1 \rvert^2}\) ; \(N_\infty(x)=\max_{i \in ⟦1;n⟧} \lvert x_i \rvert\)
Ces normes sont équivalentes, car:
\(\forall x \in \mathbb{K}^{n} \quad N_\infty(x) \leq N_1(x) \leq n N_\infty(x)\)
\(\forall x \in \mathbb{K}^{n} \quad N_\infty(x) \leq N_2(x) \leq \sqrt{n} N_\infty(x)\)
Et par conséquence:
\(\forall x \in \mathbb{K}^{n} \quad \frac{1}{n} N_\infty(x) \leq N_2(x) \leq \sqrt{n} N_1(x)\)
(On a utilisé la transitivité)
Ces normes ne sont PAS équivalentes si on travaille sur une dimension infinie.
\((E_i, N_i)_{i \in ⟦1;p⟧}\), p evn, \((E, N)\) l'evn produit.
\(E\) peut également être muni des normes \(\lVert \cdot \rVert_1\) et \(\lVert \cdot \rVert_2\).
Ces normes sont équivalentes car:
\[\forall x \in E \quad\quad N(x) \leq \lVert x \rVert_{2} \leq \lVert x \rVert_{1} \leq pN(x)\]
\(E = \mathbb{K}[X]\)
on a : \(N_\infty \leq N_2 \leq N_1\)
Considérons la suite de polynômes définie par:
\[P_n(X) = \sum\limits_{k=0}^{n} X^k\]
Alors:
\(N_1(P_n)=n+1\) ; \(N_2(P_n)= \sqrt{n+1}\) ; \(N_\infty(P_n)=1\)
Si \(N_1\) et \(N_\infty\) étaient équivalentes, il existerait \(\alpha \gt 0\) tel que \(N_1 \leq \alpha N_\infty\). On aurait \(\forall n \quad \alpha \geq n+1\). Ce qui est faux.
Si \(N_2\) et \(N_\infty\) étaient équivalentes, il existerait \(\beta \gt 0\) tel que \(N_2 \leq \beta N_\infty\). On aurait \(\forall n \quad \beta \geq \sqrt{n+1}\). Ce qui est faux.
Si \(N_1\) et \(N_2\) étaient équivalentes, il existerait \(\delta \gt 0\) tel que \(N_1 \leq \delta N_2\). On aurait \(\forall n \quad \delta \geq \sqrt{n+1}\). Ce qui est faux.
sur \(\mathbb{K}[X]\), \(N_1\), \(N_2\) et \(N_\infty\) ne sont pas équivalentes, mais on a:
\[N_\infty \leq N_2 \leq N_1\]
\(\lVert \cdot \rVert_1 : f \mapsto \int_{a}^{b} |f(t)|\, dt\) (Norme de la convergence en moyenne)
et:
\( \lVert \cdot \rVert_2 : f \mapsto \sqrt{\int_{a}^{b} |f^2(t)|\, dt}\) (Norme de la convergence en moyenne quadratique)
et:
\( \lVert \cdot \rVert_\infty : f \mapsto ||f||_\infty = \sup\{|f(t)| ; t \in [a,b] \}\) (Norme de la convergence uniforme)
sur \(\mathcal{C}(\left[0;1\right], \mathbb{K})\) , \(\lVert \cdot \rVert_1\) , \(\lVert \cdot \rVert_2\) , \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) ne sont pas équivalentes. On a toutefois:
\[\lVert \cdot \rVert_1 \leq \lVert \cdot \rVert_2 \leq \lVert \cdot \rVert_\infty\]
Toute suite extraite d'une suite convergente converge, et sa limite est la même.
Si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent et ont la même limite, alors \((u_{n})\) converge, et sa limite est la même.
Soit \(u \in E^{\mathbb{N}}\)
Un vecteur \(a \in E\) est appelé valeur d'adhérence de la suite \(u\) s'il existe une suite extraite de \((u_n)\) convergeant vers \(a\).
\(a \in E\) est une va de la suite \(u\) si et seulement si:
\(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \forall N \in \mathbb{N} \quad \exists n \in \mathbb{N}\) , on a: \[(n \geq N \textrm{ et } u_n \in B(a, \varepsilon))\]
Si \((u_n) \in E^{\mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \ell\), alors \(\ell\) est l'unique va de \(u\).
Toute suite ayant au moins 2 va est divergente.
Une suite, réelle ou complexe, bornée converge si et seulement si elle admet une unique va.
L'ensemble des valeurs d'adhérence de \((\cos(n))\) est \(\left[-1;1\right] \)
(on utilise le fait que \(\mathbb{Z} + 2\pi \mathbb{Z}\) est dense dans \(\mathbb{R}\))
A savoir refaire.
Soit une suite réelle \(u\) vérifiant: \(\lim\limits_{n \to +\infty} (u_{n+1} -u_n) = 0\)
Alors, l'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle fermé.
la suite \((\cos(\sqrt{n})\) a pour ensemble de va \(\left[-1;1\right]\)
Soit \(f \in \mathcal{C}(\left[a;b\right] , \left[a;b\right])\) et la suite définie par \(a_0 \in \left[a;b\right]\) et \(a_{n+1} = f(a_n)\)
Si \(\lim\limits_{n \to +\infty} (a_{n+1} -a_n) = 0\) , alors \((a_n)\) converge.
Soit \((u_n)\) une suite d'un \(\mathbb{K}\)-evn \((E, \lVert \cdot \rVert_E )\) et \((\alpha_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}\)
\((u_n)\) est dite dominée par \((\alpha_n)\) si:
\(\quad \exists K \in \mathbb{R} \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n \geq N\) : \[\lVert u_n \rVert \leq K \lvert \alpha_n \rvert\]
On écrit alors : \(u_n = O(\alpha_n)\)
Et si \((\alpha_n)\) ne s'annule pas:
\(\quad u_n = O(\alpha_n)\) \(\iff\) \((\frac{1}{\alpha_n}u_n)\) est une suite vectorielle bornée de \((E, \lVert \cdot \rVert)\)
Une suites est donc dominée par définition par une suite scalaire (et non vectorielle)
Soit \((u_n)\) une suite d'un \(\mathbb{K}\)-evn \((E, \lVert \cdot \rVert_E )\) et \((\alpha_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}\)
\((u_n)\) est dite négligeable devant \((\alpha_n)\) si:
\(\quad \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n \geq N\) : \[\lVert u_n \rVert \leq \varepsilon \lvert \alpha_n \rvert\]
On écrit alors : \(u_n = o(\alpha_n)\)
Et si \((\alpha_n)\) ne s'annule pas:
\(\quad u_n = o(\alpha_n)\) \(\iff\) \((\frac{1}{\alpha_n}u_n)\) est une suite vectorielle qui \(\xrightarrow[\infty]{} 0_E\)
Soit \(u\) et \(v\) deux suites de \(E\), un ev normé.
La suite \(u\) est dite équivalente à \(v\) (noté: \(u_n \sim v_n\)) si \((u_n - v_n)\) est négligeable devant la suite réelle \(\lVert v \rVert\) :
\(\quad \forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n \geq N\) : \[\lVert u_n - v_n \rVert \leq \varepsilon \lVert v_n \rVert \]
Cette fois-ci, une suite vectorielle est équivalente à une autre suite vectorielle.
La relation "\(\sim\)" définie sur les suites d'un evn \(E\) est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
Si \(u\) et \(v\) sont deux suites équivalentes de \(E\) un evn, alors:
\(u_n = O(\lVert v_n \rVert)\) et \(v_n = O(\lVert u_n \rVert)\)
La réciproque est fausse (ex: (n) et (-n))
\(u\) et \(v\) deux suites de \(E\), un evn.
\[ u_n \sim v_n \textrm{ et } u_n \xrightarrow[\infty]{} \ell \implies v_n \xrightarrow[\infty]{} \ell\]
Soit \(u\) une suite de \(E\), un evn.
\[ u_n \xrightarrow[]{} \ell \textrm{ et } \ell \ne 0_E \implies u_n \sim \ell\]
\(u_n \sim 0_E\) ne signifie pas que que la limite de \((u_n)\) soit nulle, mais que la suite est identiquement nulle à partir d'un certain rang
2 suites scalaires \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) ne s'annulant pas sont équivalentes si et seulement si :
\[\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\alpha_n}{\beta_n} = 1\]
\[ a \gt 1 \quad \alpha \gt 0 \implies n^{\alpha} = o(a^n) \textrm{ et } a^n = o(n!)\]
\[ a \gt 0 \quad b \gt 0 \implies ln(n)^b = o(n^a)\]
\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) :
\[n^a (\ln n)^b = o(n^c (\ln n) ^d) \iff (a \lt c) \textrm{ ou } (a=c \textrm{ et } b \lt d)\]
\(u_n \sim v_n\) n'implique pas \(\exp(u_n) \sim \exp(v_n)\) . Ex: \((n)\) et \( (n - \ln(n))\)
Mais:
\(\exp(u_n) \sim \exp(v_n)\) \(\iff\) \(\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0\)
\(u_n \sim v_n\) n'implique pas \(\ln(u_n) \sim \ln(v_n)\) . Ex: \((1+\frac{1}{n} )\) et \( (1+\frac{1}{n^2})\)
Mais si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites de réels strictement positifs:
\(u_n \sim v_n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n \in \overline{\mathbb{R}} - \{1\}\) \(\implies\) \(\ln(u_n) \sim \ln(v_n)\)